【文摘】大学生数学竞赛题汇编(7)

1.从二次曲线C外一点L作C的两条切线,切点的连线为直线l,再从C外另外两点M、N同样作C的切线,切点的连线分别为直线m、n.若L、M、N三点共线,试证:l、m、n三线共点。

2.证明:极限 lim(2/x^2)[1-(cosx)(cos2x)^1/2(cos3x)^1/3…(cosnx)^1/n]=n(n+1)/2 其中 x->0

3.设 f 是一个处处解析的实函数,且 f(x)>0 (x≥0)。
并设对所有 n≥N, a_n:=f 在原点的 n 阶导数/n! >0。
试证:存在一个 m≥1 使得 a_0 + a_1 x + … + a_m x^m >0 (x≥0)。

4.F是特征为p的域,p为素数,c属于F
求证:x^p-x-c在F[x]中是不可约多项式<===>x^p-x-c在F中无根

5.求一切函数f(x),使f(f(f(x)))=8x+7.

6.已知正方体的容积是1,请问:
(1)该正方体的截面可以是平面几边形?其中正多边形有几种?截面积最大的是哪一个?
(2)能够放进该正方体内的最大的正四面体的体积是多少?
(3)能够放进该正方体内的面积最大的正方形硬纸片的面积是多少?
(4)过至少三条棱的中点的平面有多少个?

7.X,Y,Z∈正实数,证明:(XY+YZ+XZ)[1/(X+Y)^2+1/(Y+Z)^2+1/(X+Z)^2]≥9/4.

8.三个圆两两相切,半径分别为3、4、5,有一个大圆与他们三个都相切,大圆的半径是?

9.设:

A_1=x^2m + x^(2m-1)+ x^(2m-2)+...+ x + 1 
A_2=x^2m - x^(2m-1)+ x^(2m-2)-...- x + 1 

则 A_1*A_2 不可能为平方数。 ( x>4, m=1,2,3,…)

10.设n>=2.一个n×n的矩阵,每两行都不完全相同.
证明: 一定能删去一列,使剩下的矩阵中每两行仍然不完全相同。

大学生数学竞赛题汇编
大学生数学竞赛题
高中数学联合竞赛试题
国际象棋中的趣题妙解
数学家俱乐部
数学趣题汇编
牛顿:在海边寻找贝壳的人
凯尔文:是上帝创造了生命,并且掌管一切
陆地动物能变成鲸吗
数学界的奇人妙事
趣味逻辑学问题

Conway: 游戏人生
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚
物理学之神奇的数
鸟和青蛙
超级圆周率π运算器
数学难题汇编

此条目发表在数学分类目录,贴了, , , 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注