【文摘】数学趣题汇编(9)

1.丝绸之路数学联赛第一届的最后一题:
观察,1/7=0.142857142857…..可知其循环节为6,且1+8=4+5=2+7=9,
问一个即约分数分母满足甚末条件可出现上述情况.例如1/17也可以.。
参考答案

2.有一个半径为16的圆,里面放了650个点, 用一个外半径为3,内半径为2的环,是否一定可以覆盖住里面至少10个点?
参考答案

3.the sum of your 100 positive integers is 200, none of these integers is greater than 100, and you want to select some of your integers whose sum is 100?

3.有100给正整数的和是200,这些数都不大于100,是否一定能选出若干个数,它们的和是100?

4.找出两两互素的不同的三个自然数x,y,z所组成的三数组,使得数组中任意两个数的和能被第三个数整除?

5.一个20×20×20的实心立方体C由2000块:2 × 2 × 1的砖砌成。
试证明:这个立方体能够被与它的一个面垂直的一条直线刺穿,这条直线要通过立方体的内部但却不会穿过任何一块砖。

6.序列1110001011的所有三个数字段代表了二进制数系中的全部三位数,且每段只用一次,对任一整数n用下面的方式可得出一个类似的序列:开始先写下限个1,在后面的位置上逐次写上0,除非添上0后完成的一个n位数字段是前面已出现过的,碰上这种情况则写上1。证明如此产生的n^2+n-1个数字序列也有在本题一开始时(n=3)列出的序列的性质。

7.有十张纸片,背面各写有一个数字(数字是任意的,不过没有重复),请你来找最大数(记为M)。任意翻开一张,如果你认为它不是这十张中最大的,可丢掉另翻,直到你认为找到M为止。不过,你不能回头挑选已丢掉的数。
请想想,怎样使你找到M的几率尽可能地大?几率是多大?

8.定义:平面上有一些圆。把一个点称为 n 重点,若正好有 n 个圆通过此点。
(1) 试在平面上构造 4 个半径相同的圆,使得每两个圆都有交点, 并且每个交点都是 3 重点。
(2)证明:无法在平面上构造 5个半径相同的圆,使得每两个圆都有交点, 并且每个交点都是 3 重点。

9.有依次排列着三个数:3,9,8。对任相邻的两个数都用右边的数减去左边的数, 所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一 次操作,做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1, 9,8,继续依次操作下去,问从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的哪个 新数串的所有数之和是多少?

10.Y2K游戏:有2000千个方格排成一排,两个玩家轮流在方格里写S或O,谁先在连续的三个方格里写出SOS,谁就获胜;如果都写不出来就算平局。
证明:后写的人有胜算。

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