【文摘】数学难题汇编(8)

1.圆形跑道上n个不同点处有n辆汽车准备出发。每辆车1小时跑一圈。听到信号后,它们各选一个方向立即出发。如果两辆汽车相遇,则同时改变方向以原速前进。证明必有一时刻,每一辆车都在原出发点。

2.设一个四面体的各棱长之和等于E,其内部包含另一个四面体各棱长之和等于E,
请证明或否定:E≤4/3*E。
参考答案

3.p是给定的奇素数,m为给定的正整数。
求证:存在无穷多个素数x,使得x^p+m为合数。
参考答案

4.集合Z由n个元素组成,Z中最多有多少个这样的3元子集,使得其中任意两个3元子集都恰好有一个公共元.
参考答案

5.国际象棋盘上放了若干个棋子,每隔一秒钟,其中一个子会移动到其相邻的某个空格上。经过一系列的移动,最后这些棋子中,每个棋子都回到了原位,而且都经过了所有其他的格子有且仅有一次。
证明:在某一时刻,所有的棋子都不在其原来的位置上。

6.把平面上的单位正方形S的位置固定好,
试问:放近S与S接触但不交叠的非交叠单位正方形的个数,最多有多少?

7.由集合(1,2,3…n)中抽取ai,允许重复,可以得到n^k个不同的k数组(a1,a2,…ak), 任一k数组中最小的数用ai表示。
试证明:全部最小的ai之和就是前n个自然数的k次幂之和l^k+2^k+…n^k,即
sum min(a1,a2,…ak)=sum m^k。

8.n是正整数, 数列r(1)=2,r(k+1)=r(1)r(2)…*r(k)+1 (k>=1)
求证:若n个正整数a(1),a(2),..,a(n)满足
1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n) < 1
则 1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n) <=1/r(1)+1/r(2)+…+1/r(n)

9.平面上任意的一个凸图形,过他的重心做直线将其分为两份,则这两份的面积比总在r到1/r间,求r?
又三维空间中的任意一个凸体,过重心做平面将其分为两份,则这两份的体积比总在s 到1/s间,求s=========???

10.由3条长度均为1的直走廊形成一个风扇形。匪徒和警察沿着走廊奔跑。假设警察的最大速度是匪徒的最大速度的2倍。且只要两者的距离不超过r,警察就可以看见匪徒。如果警察一定能抓着匪徒的话,求r的最小值?

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