【文摘】数学趣题汇编(8)

1.一个边长100厘米的正方形,用长100厘米,宽10厘米的长方形去覆盖(可以有重叠部分),当然至少要10个这样的长方形才盖得住。
但是为什么一个直径为100厘米的圆盘,也必须用至少10个这样的长方形才盖得住(也就是说只用9个就盖不住)?

2.平面上有不在一条直线上的三点A、B、C,任取平面上的一点O,作点O关于A的对称点O1 ,再作O1关于点B的对称点O2,这样依次下去。
问经过多少次又回到原点O。

3.把个一正方体分为同样大小的27个小正方体,一条不与小正方体的棱相交的直线最多可以穿过其中的几个小正方体?

4.证明不等式:
1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)<=1/(abc) (a>0,b>0,c>0)

5.设正2n边形内接于一个半径为r的圆。考虑所有以这2n边形的顶点为顶点的三角形,其中有多少个三角形内部含圆心?

6.如果一个三角形的三条角平分线都大于1,求证:这个三角形的面积大于1/sqrt(3) 。

7.某人上午9点外出徒步郊游,先沿水平道路走,然后登山,再由原路返回,下午4点到家。他的步速在平路上每小时X公里,上山为每小时Y公里,下山时为每小时2Y公里,他一共走了多少路?(其中X、Y是整数)

8.从 1,2,…,2n 中任选 n+1 个数, 其中必有两个数,一个是另一个的倍数。

9.一天中,老板共交给秘书9封信,让她用打字机打出来,按送的先后顺序,分别编号1,2…,9,送信的时间是不定的,但每次都是将信放在秘书的文件篓内的那些待打信上面,秘书一有空,就从最上面取一封信并将它打出来。吃午饭时,秘书告诉她的一位同事,第8封信已经打出来了。除此之外,没说别的关于上午打信的情况。这位同事想知道哪几封信留待下午打,并且以怎样的顺序打。根据上面提供的信息,这样的顺序共有多少种可能的情况?(注:所有的信都在上午打完了,也是一种可能)。
参考答案

10.图论问题:有2N个点构成的完全图,用红色或蓝色给边染色,证明存在至少有2*C(N,3)个同色三角型。
参考答案

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