【文摘】大学生数学竞赛题汇编(5)

1.数论问题:对于莫比乌斯函数 μ(n),
求证:∑{μ(n)/n}=0,其中 n从1到∞求和

其中pi表示质数

2.求证 :Sin(π/7)Sin(2π/7)Sin(3π/7)=sqr(7)/8 (sqr表示平方根号) 。
一般的形式:
Sin(π/(2n+1))Sin(2π/(2n+1))…Sin(nπ/(2n+1)) = sqr(2n+1)/2^n

3.A是n级正定矩阵,证明:存在一个n级正定矩阵B,使A=B^2 。

4.设f(x)是有理数域Q上的一个m次多项式(m>=0),n是大于m的正整数,
证明:n次根号2不是f(x)的实根。也就是2^(1/n)不是f(x)的实根。

5.自然数n>=5 , a(1),a(2),…,a(n)是正整数 ,集合S={a(1),a(2),…,a(n)}的任两个不同的非空子集A,B , A中所有元素和与B中所有元素和不相等
求 :
(1)a(1)+a(2)+…+a(n)的最小值
(2)a(1)^2+a(2)^2+…+a(n)^2的最小值
(3)sqr(a(1))+sqr(a(2))+…+sqr(a(n))的最小值 sqr表示平方根
(4)1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)的最大值

6.对于n阶矩阵A、B,rankA=n-1,若AB=BA=0,求证:存在多项式g(x),使B=g(A)。
参考答案

7.a+b+c=3且皆为正实数 求证: 
abc(a^2+b^2+c^2)<=3
一般形式:
n
∑a(i)=n且皆为正实数 求证:
i=1
a(1)…a(n)(a(1)^2+…+a(n)^2)<=n

8.余数定理:F(x)=ax^n+bx^(n-1)+…+zx+m,则F(x)/(x-K)的余数为F(K).
题目:若F(A1)=F(A2)=F(A3)=F(A4)=1,A1,A2,A3,A4为整数,求证:不存在整数B,使 F(B)=-1。

9.设a、b为正整数,ab+1整除a^2+b^2。证明:(a^2+b^2)/(ab+1)是完全平方。

10.证明不等式:
[(a1+a2+…+an)/n]^m<=(a1^m+a2^m+…+an^m)/n,其中 ai>=0
参考答案

大学生数学竞赛题汇编
大学生数学竞赛题
高中数学联合竞赛试题
国际象棋中的趣题妙解
数学家俱乐部
数学趣题汇编
牛顿:在海边寻找贝壳的人
凯尔文:是上帝创造了生命,并且掌管一切
陆地动物能变成鲸吗
数学界的奇人妙事
趣味逻辑学问题

Conway: 游戏人生
有关孪生素数的一个有趣猜想
素数之恋-伯恩哈德·黎曼
等分布理论简介
数学家波利亚
物理学之神奇的数
鸟和青蛙
超级圆周率π运算器
数学难题汇编

此条目发表在数学分类目录,贴了, , , 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注