【文摘】大学生数学竞赛题汇编(4)

1.令 a(0)=a(1)=a(2)=…=a(5)=1,
当 n>5 时, a(n)=(a(n-1)×a(n-5)+a(n-2)×a(n-4)+a(n-3)×a(n-3))/a(n-6),
证明:a(n)总是整数。

2. 设f:x|→x^3,是群G到G的单一同态,试证明G为交换群。

3.求证结论, (1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)…..的级数展开式为:
1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+……
它有下面的规律:
1 2 5 7 12 15 22 26 35 ……
1 3 2 5 3 7 4 9 ……
第二行数列的奇子数列为自然数序列,而偶数列为奇数序列,
第二行数列是第一行相邻两数之差产生的。

4.两组1,2,3,…,n排成一排,要求两个1之间有1个数,两个2之间有2个数,
…,两个n之间有n个数,猜想n=0,3 mod4时一定有这样的排法。

5.概率问题:有n个不同元素,有放回的取出r个,这r个元素不讲顺序,问有几种可能?

6.将完全图Kn分解为没有公共边的s个完全图Km,试求:s的最大值?

7.对任意一个不是5的倍数的自然数N,是否一定存在一个正整数K,使得K×N的所有数字都只是6或7?

8.某次比赛每个参赛者都正好和其它每位参赛者比赛过一次。赛制的积分规则规定每局胜方得1分,负者得0分,平局双方各得1/2分。全部比赛结束后,我们将个人总得分低的一方战胜个人总得分高的另一方的赛局叫作“爆冷门”。
试证明:
(1)“爆冷门”的总局数与全部比赛局数比值小于3/4。
(2)上一命题中的3/4不可能用更小的数替代。

9.一个矩形被分为许多大小不等的小矩形, 如果已知每个小矩形至少有一边边长为整数,
证明:原来的大矩形也至少有一边边长为整数。

10.Suppose that m > n >= 0 are integers such that 2^m – 2^n
divides 3^m – 3^n. Show that 2^m – 2^n divides x^m – x^n for all
natural numbers x.

10.假设m>n>=0是整数,满足 2^m-2^n能整除3^m-3^n,
证明:对于所有自然数x,2^m-2^n都能整除x^m-x^n。

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