【文摘】数学难题汇编(6)

1.Finding Integer Solutions of x^3 – y^2 = 2. 【参考答案

1.找到方程 x^3 – y^2 = 2的全部整数解。

2. 正整数 n 可以被所有 <= log(n)的自然数除尽,
问:满足此条件的n是有限个还是无限个?

3.是否存在一个非负整集合T,满足以下条件:
对任意的非负整数n,恰有一对T中的(a,b), 满足 n=2*a+b。

4.一个球体,N条半径,要求每条半径线之间的角度要大于等于1度,
问:最多可有多少条半径线?

5.一个正四面体用刀切成两部分,求两部分较大内接球直径的最小值。

6.平面上的有限点集,要求任意两点连线的垂直平分线上恰好有两点。
猜测这样的点集只能是:一个正方形,正方形的每边为一边向外(或向内)作正三角形,正方形的四个顶点加上四个正三角形靠外(或靠里)的四个顶点。

7.Let S(x) be the sum of digits in the decimal representation of x. Are there natural numbers a, b and c, that S(a + b) < 5, S(a + c) < 5 and S(b + c) < 5, but S(a + b+ c) > 50?

7.令 S(x)表示x的全部数字之和,是否存在自然数 a,,b, c,
满足: S(a + b) < 5, S(a + c) < 5 并且 S(b + c) < 5,但是 S(a + b+ c) > 50?

8.证明:如果Sl和S2是包含于单位正方形之内的两个正方形,它们没有公共点,则它们的边的和小于1。
下面的命题似乎为真:
如果有k^2十1个正方形包含在单位正方形内,它们之中任意两个汉有公共点,则这些正方形的边长之和小于k。

9.A cube covering problem (Wlodek Kuperberg)
You can cover a square by three smaller squares but you cannot cover it by two smaller squares.
Show that you can cover a cube in Rn by n+1 smaller cubes.
Can you cover a cube in Rn by n smaller cubes?

9.可以用三个较小的正方形覆盖一个大正方形,但不能用两个较小的正方形覆盖一个大正方形。
同样在Rn中可以用n+1较小的正立方体覆盖一个较大的正立方体,但不能用n个较小的正立方体覆盖一个大的正立方体。

10.在平面上n个已知角a1,a2,..an,满足a1+a2+…an=360度,则可以把它们的顶点放在n个已知点上,使他们能覆盖整个平面。

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