【文摘】数学趣题汇编(7)

1.利用一个生锈的圆规(即圆规两脚的距离不能改变,定死了),不用直尺,完成以下作图:
(1)已知平面上两点A,B,求作一点C使得三角形ABC是等边三角形;(A,B的距离当然不一定等于圆规两脚的距离)
(2)已知平面上两点A,B,求作线段AB的中点。

2.a,b都是正整数,且对每一个正整数k,都有a^k-1整除b^k-1
试证明:b为a的幂。

3.Consider the integer N=2^{1999} (2 raised to the 1999 power). Is there a positive integer multiple of N whose decimal representation does not contain the digit 0?

3.对于整数N=2^{1999},是否存在N的一个倍数,这个倍数的十进制表示里面没有数字0?

4.现在有三块同样大小的正方形餐巾,允许折叠但不能撕破, 问最多可以覆盖多大的正方形区域?

5.八皇后问题:
在国际象棋棋盘上, 如何放置8个皇后,使得它们能够互相共存。
国际象棋里皇后可以直吃其所在的横、竖、两个方向的对角线,
谁知道这个问题到底有多少种解?

6.给一条线段。线段上的n个点称为“合适的”,如果把线段n+1等分后,n条小线段内部都恰好有一个点。
现在一个点一个点地往线段上标点,使得每标出一个点后,线段上面所有已经标出的点都恰好是“合适的”。亦即,第一个点是合适的;前两个点也是合适的;前三个点也是合适的;…………
问题就是最多可以这么一直标到第几个点就不能继续标下去了?

7.一平面图形周长为1,面积为r。证明或否定:他可以覆盖半径为r的园。

8.假设100个人中的每个人都知道1条消息,而且他们所知道的这100条消息都不相同。为了使这100个人都能知道全部消息,他们至少要打多少个电话?

9.用1×1,2×2,3×3的正方形拼成23×23的正方形,其中1×1的正方形最少要用几块?

10.求证:任意连接正六边形的6个顶点构成一闭折线,其必有二边平行。

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