【文摘】大学生数学竞赛题汇编(2)

1.设函数在区间上有二阶导数，且在内
一点取得最小值-1，试证有内一点e,使得.

2.闭的简单平面曲线上一定存在四个点，它们是正方形的顶点。【参考答案】

3..证明(组合数）为合数。

4.设 
     且   
 求：  的最大值与最小值。

5.给定圆O，如何只用圆规确定其圆心？【参考答案】

6.连续掷均匀硬币M+N次，出现M次正面，N次反面，且 M>N。问在投掷过程中，出现
正面次数始终大于出现反面次数的概率。【参考答案】

7.考虑下面特征的实数，1.10010110……，以1为整数部分，然后从后面往前
 数1的个数不少于0的个数。这种数的全体组成的集合，它的集合势是多少呢？
【参考答案】

8.整数   ，整数  ，
   试确定 A和B的大小关系。【参考答案】

9.证明：对于任意的自然数 n，成立不等式

10.设是2n+1个实数，它们具有下面的性质：
任意去掉其中一个数，剩下的2n个数必能分成两组，使得每组各有n个数，
且各组的和相等，请证明：。【参考答案】