【文摘】大学生数学竞赛题汇编(1)

考虑有理数序列:

1 ,1/2 ,2/1 ,1/3 , 3/1 , 1/4 , 2/3 , 3/2 ,4/1 …

它由下述方法得到:依次令 k=1,2,3,… ,对于每一个 k 列出全部满足
n + d = k 并且 gcd(n,d)=1 的分数 n/d。
再将此序列化为小数组成的方阵:

             1  =  1.00000000000...
            1/2 =  0.50000000000...
            2/1 =  2.00000000000...
            1/3 =  0.33333333333...
            3/1 =  3.00000000000...
            1/4 =  0.25000000000...
            2/3 =  0.66666666666...
            3/2 =  1.50000000000...
            4/1 =  4.00000000000...

取此方阵对角线上的数字可以得到一个小数:

1.5030060000 6003005060 07…

这个数是有理数还是无理数?

有理数在化为小数时,例如0.4一般有3种方法:

    0.4=0.4
    0.4=0.4000000...
    0.4=0.3999999...

为了以下的问题需要,我们仅选用第二种表示法。
接上个问题,我们用pi=3.14159265…的各位数字依次取代前面方阵的
对角线上的数字,得到一个新的方阵:

              3.00000000000...
              0.10000000000...
              2.04000000000...
              0.33133333333...
              3.00050000000...
              0.25009000000...
              0.66666266666...
              1.50000060000...
              4.00000005000...

请问:上面的这个方阵是否仍然包含所有的正有理数?是否包含0?

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