【文摘】数学趣题汇编(3)

  • 1. 甲乙二人玩捉乌龟的游戏,先将一付54张扑克牌(27对)藏起一张,
    于是剩下的牌中必有一张没有对子,称为“乌龟”,再将牌分给两
    个人,每个人将自己手中的对子全部扔掉,这时你能否根据两人手中的
    牌的张数判断出乌龟在谁的手中?
  • 2. 证明:若p是素数,则 C(n,p)-[n/p]可被p整除。
  • 3. 在三维空间中,能否作一个各边相等,各个角都是直角的闭五边形?

4. 连乘积 :
n-1
∏ ((3k+1)! / (n+k)!)
k=0
一定是整数吗?
例如:
n=1: 1!/1! = 1
n=2: (1!/2!)(4!/3!) = 2
n=3: (1!/3!)(4!/4!)(7!/5!) = 7

  • 5. 设a(1)、a(2)、…、a(2n+1)是2n+1个实数,它们具有下面的性质:
    任意去掉其中一个数,剩下的2n个数必能分成两组,使得每组各有n个数,且各组的和相等,请证明:a(1)=a(2)=…=a(2n+1)
  • 6. 有一个报告会又臭又长,在场的人都打了两次盹,任两人有同时打盹的时候,求证:存在一个时刻有至少一半的人在打盹(严格的论述就是:报告会设为[0,1],每个人打盹用两个开区间即四个相异点标定,共需4n个点喽,即有众集合Ai(i=1,2,……,n)是由两个开区间并成,Ai交Aj不空)
    可推广为:
    有一个报告会又臭又长,在场的人都打了n次盹,任两人有同时打盹的时候,
    求证:存在一个时刻有至少1/n的人在打盹
  • 7.
    有一片神秘的森林,在里面任何人也无法辨识方向。它存在于一个神奇的空间,这个空间是精确的欧几里得空间。它只有一条直线的边界,即,森林拓展为一个半平面。一个受过严格训练的探险者,他对行进方向的控制能力达到了完美的程度。这个探险者打算区森林中寻找传说的上古时代埋藏在森林的众神宝典。
    一天,他从森林的边界,提升真气至极限,以6400公里/小时的极限速度,垂直飞行进入森林1000公里,然后调转行进方向90度继续行进,这时他的路线是严格与森林的边界平行的。非常幸运的,他终于看到了传说的遗迹,正当他欣喜若狂的揭开被诅咒了的封印,地动山摇,只觉得好像整个空间都似裂开,他头晕目眩,终于昏死过去….不知过了多久,探险者悠悠醒转,可是,非常不幸的,他完全迷失了方向!
  • 空间仍在裂变之中,地域之火正慢慢燃烧,他知道,如果不能在1小时内飞出森林,这里就是他的葬身之地!………
  • 现在请问,是否存在一个飞行策略,使他一定能够活着飞出森林?
  • 更难点的问题,能否证明你找到的这个策略是最佳的?
  • 8.
    往一个n*n的方格中填整数,满足任意相邻(水平和垂直两个方向)的两个方格 中填的数之差的绝对值为1。求证:一定有某个整数在方格中至少出现n次。
  • 9. 面积为S的一个正方形,最多能覆盖住平面当中的几个格点?
  • 10. 人和机器博弈,每次可以赢或输一元。假定有两个人和机器博弈,
    每分钟一次,过了一段时间后发现每人都正好赢了2N元。证明:
    存在一个时间段,在这个时间段中每个人恰好赢了N元。

牛顿:在海边寻找贝壳的人
凯尔文:是上帝创造了生命,并且掌管一切
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