【数学】牵涉到取整的数学概率游戏

Leroy Quet 2002

从一个双人游戏开始,
两位选手分别编号 #1 和 #2,
事先取定一个较大的自然数 m,
随机的取一个整数 k, 满足 1 <= k <= m,并假设这个范围的每一个整数被取到的机会均等,即为1/m。

用中括号 [] 表示取整函数,
当[m/k] 是奇数时给#1 加1分,
当[m/k] 是偶数时给#2 加2分,
依次取数,将游戏进行下去,
进行许多轮的加分之后,
谁会赢的较多的分数呢?

对于这个游戏,若不经过精确计算,很可能误判输赢结果。

其实:对于较大的数 m,[m/k]是奇数的概率趋近于ln(2),
所以 n轮加分之后,#1选手的得分近似于n *ln(2) ,

#2选手的分数趋于 2*n *(1-ln(2)),

因为 ln(2) > 2 *(1-ln(2)),

所以 #1选手的分数会较高。

进一步可推广考虑多位选手的情况,
假设 r 个选手(r >= 2),

规则是:
在每一轮加分中,如果 [m/k] ≡ q(mod r),

就给获胜的选手 #q 加 q 分,

其中 1 <= q <= r,
也可以将选手#r的加分条件定为 [m/k] ≡ 0(mod r)

用G(q,r)表示在每一轮比赛中,选手#q得到加分机会的概率,

结论:

G(q,r) = ∑{k=0 to ∞} 1/((kr +q) (kr +q +1))

(额外的: G(1,4) + G(2,4) = pi/4)

所以,选手 #q 的最终得分会趋于 q*G(q,r),

问题1:
总是选手#1赢的可能性最大吗?
问题2:
其次是哪一位选手赢的可能性大?

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