【数学】有趣的自然数拆分

将一个自然数拆分成几个自然数的和,一般称为自然数拆分问题。
将不同的拆分方法,列出来,例如6的拆分,如下:

6
5 1
4 2
4 1 1
3 3
3 2 1
3 1 1 1
2 2 2
2 2 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
排列顺序从大到小,也就是对于每一行的拆分方案,第一个是最大的一个数,
每个拆分的数的个数,称为拆分宽度。
对拆分的最大数和拆分宽度分别进行统计:

宽度–数量–最大数–数量
6 ——– 1 …… 6 ——– 1
5 ——– 1 …… 5 ——– 1
4 ——– 2 …… 4 ——– 2
3 ——– 3 …… 3 ——– 3
2 ——– 3 …… 2 ——– 3
1 ——– 1 …… 1 ——– 1

可以观察到很有趣的现象,统计表当中,每一行的两个统计数量是相同的,
对于其他的自然数也有这样的结论吗?
8
7 1
6 2
6 1 1
5 3
5 2 1
5 1 1 1
4 4
4 3 1
4 2 1 1
4 1 1 1 1
3 3 2
3 3 1 1
3 2 1 1 1
3 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 1 1
2 2 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

宽度–数量–最大数–数量
8 ——– 1 …… 8 ——– 1
7 ——– 1 …… 7 ——– 1
6 ——– 2 …… 6 ——– 2
5 ——– 3 …… 5 ——– 3
4 ——– 4 …… 4 ——– 4
3 ——– 4 …… 3 ——– 4
2 ——– 4 …… 2 ——– 4
1 ——– 1 …… 1 ——– 1
这么有趣的现象,证明方法也一定很巧妙。

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