【数学】来自自然数的挑战

这是一个有名的数字序列问题,仔细观察序列规律:

1
11
21
1112
3112
211213
312213
212223
114213
31121314
31122314
31222314
21322314
21322314

:看一下21322314这个数,它有何特点?
:可以发现,它包括:
: 2个1,3个2,2个3,1个4
:将上面这行文字中的数字分离出来,可得到:
: 21322314
:
:……

5
15
1115
3115
211315
31121315
41122315
3122131415
4122231415
3132132415
3122331415
3122331415
6
16
1116
3116
211316
31121316

3122331416

.
.
.
9
19
1119

3122331419

10
1011
1031
102113
10311213
10411223
1031221314
1041222314
1031321324
1031223314
1031223314

这个问题实际上是由一个趣味数列题提出的:
1
11
21
1112
3112
211213

根据前面的6行,填出第7行。
那么根据问题中提到的规律,则应该填
312213

下面的依次将是:
212223
114213
31121314
31122314
31222314
21322314
21322314
可以看到从第14行(21322314)开始,将不在变化。
我们将前面提到的规律,作为一个产生数列的“递推规则”,
则可以从任何一个自然数开始,产生一个数列。
例如从10开始得:
10
1011
1031
102113
10311213
10411223
1031221314
1041222314
1031321324
1031223314
1031223314 (从此开始恒定)
把常数看成循环长度为1的循环圈,一个自然的问题就是
是否从任何一个自然数开始按此规则构造数列,都将进入一个循环圈?
所有这些循环圈构成的循环圈集合是有限集吗?

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