【数学】从惊讶到思考 ——数学悖论奇景

《科学美国人》杂志社 马丁·加德纳

Paradox Box

这套书有五个主要目的:

1.激发学生对数学的兴趣;

2.向读者介绍重要的数学思路

3.发起丰富多彩的数学活动;

4.使人洞悉解题过程;

5.提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力。

第一章逻辑学悖论

如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念,就会发现,没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。他们被一步一步地引上繁花似锦的小道,遵循着一条无懈可击的推理思路往前走,结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。到底是什么错了?难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗?

这一章的主要目的,是尽可能用娱乐的方式,通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。在这里,“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。在其他几章中,悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里,悖论只是直接导致彼此矛盾的结果,就像证明2+2又等于4,又不等于4一样。逻辑悖论是“不可解”的,除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。

尽管从古希腊起到今天,逻辑悖论一直人们带来很大乐趣,可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。在这里,你会看到引自伯特兰德·罗素的话,他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功,后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作,写了《数学原理》,这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。

作为一个数学教师,不用人提醒就懂得,逻辑学是一切演绎推理的基础,一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。对这些基础的理解往往是较困难的,它使初学学生丧失对数学的兴趣。幸好,这组故事可以帮助你使学生认识到,逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味,而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。

在这组故事中有三个中心问题。

1.在我们谈论语句的真实价值时,为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它?

2.为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素?

3.在什么样的特殊情况下,预言未来在逻辑上是不可能的?

最好是在学习逻辑学、集合论或演绎(推理)证明的时候来认真阅读这一部分。现代几何学教科书,如雅可比的《几何学》,和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。如果你使用的是这类教科书.那末在教课(或学习)之前最好先看看这一章。

这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背景知识,并预计到可能会提出的问题,还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。

1.克里特人伊壁孟德

伊:所有的克里特人都是撒谎者。 M:他说的是真的吗?如果他说的是实话,那么克里特人都是撒谎者,而伊壁孟德是克里特人, 他必然说了假话。他撒谎了吗?如果他确实撒了谎,那么克里特人就都不是说谎的人,因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎,同时又说真话呢?

伊壁孟德是个半传奇式的希腊人,他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。

关于他的上面那段文字,如果我们假定撒谎者总是说假话,不撒谎的人总是说真话,那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定,“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话,因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人,因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的,那么伊壁孟德说的话也必定是真话,因此上面引的那句话也不可能是假话。

古希腊人曾为此大伤脑筋,怎么会一句话看上去完美无缺,自身没有矛盾,却既是真话又是假话呢!一个斯多噶派哲学家,克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文,没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯,他的身体十分瘦弱,据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑,他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中,圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论(1:12 – 13)。

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