【数学】奇妙的磨光变换




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本文介绍一些可以利用磨光变换思想解决的有趣问题。

算术-几何平均值不等式:

算术平均数算术平均几何平均数几何平均。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数7d8b5b39383c3eb65e0935ed09b2cd3f,总有:c9cb1bd3fa4b99de7171c05252639d48

等号成立当且仅当301c3a12f2040b8bdc85b9c50d33a9af

当然,这个不等式有许许多多的证明方法,而其一就是利用磨光变换的方法证明。

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棋子变换:
画一个圆,沿圆周均匀放上8个围棋子,有黑有白,放法随机,然后按以下规则调整.
(1)若原来相邻两棋子颜色相同,则在它们所在弧的中点处放上一个黑子.
(2)若原来相邻两棋子颜色相异,则在它们所在弧的中点处放上一个白子.
(3)上述操作完毕后,取走原先放着的8个棋子.
调整后得到沿圆周均匀分布的新的8个棋子.
可以证明:经过有限次调整后,8个棋子将全部变换为黑子。
将8换成2^n ,结论同样成立。

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神奇的扑克牌游戏:
拿55张扑克牌,任意分成若干堆,在桌面上从左到右,依次排成一行;
对扑克牌做如下操作,从每一堆中取一张,形成新的一堆,放在最右边,然后重复做这个操作,
结论是:经过有限步操作,必然形成从左到右,数量依次为1,2,3,…,10的局面。

扑克牌

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常庚哲老师著作中的一个问题:
在一个城市的外环路上,停着若干辆汽车,所有汽车的油合到一起,正好能够满足一辆汽车沿外环路行驶一圈,问题是,不管各个车的分布位置如何,是否都一定存在一辆汽车,可以驾驶它沿顺时针方向行驶,沿途遇到车,就将该车油加到行驶的车里,从而可以顺利行驶一圈?

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