【数学】未解决的数学难题(1)

BIRDLINE
1。(推荐指数:5)
这里目前主要是题目,我想可否发些知识性的小文章。大家也可以增长一些见识。以前也有人一个建议(tycolion )
偶尔贴过。
比如各位谁看到比较好的关于数学的文章,例如一个漂亮的定理,一个有趣的故事,历史,知识,学术方面的,都可以。当然要比较精,毕竟这里是以题目为主。
比如我看到的一个关于无理数和罗必达法则的来历,确的挺有趣的。
各位以为如何:)
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3。(推荐指数:4)
染成同色的期望(tycolion)
一个坛子里有 n 个不同颜色的小球。然后每次取出两个,将第二个球染成第一个球的颜色,再把两个球都放回坛子里。问平均需要几次可以将 n 个球都染为同色。
(我问的本意应该是 n 个)
不过问平均需要几次可以将四个球染为同色好像也蛮有趣,不妨想想看。
或更一般的,问平均需要几次可以将 m (1 < m <= n)个球染为同色。
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8 装箱问题【open】【推荐指数“5】
n^n个边长为a1,a2,a3…an的n维长方体可否放入边长为(a1+a2+a3+….an)的n维正方体中
?
当n=1,2时是平凡的,n=3有一定难度
可以证明:如果n,m时可以,则n*m时也可以
2003。4。12
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9。(推荐指数:4。)
一道繁杂的数学题目(tycolion)
一条笔直的河,河的一边有两个房子。现在要从河向通过水槽两个房子引水过来。
问使水槽总长度最短的方案是什么?
如果是三个房子呢?(这个难度恐怕是以几何级数上涨)
显然的,方案与房子与河的相对位置有关。
(引自北大bbs)
原题如下:
如下图:现有一输油管道(无线长为直线) 在管道的一侧有3个工厂a,b,c,
现将管道接入各个工厂,使得任何一工厂能够从输油管输入油
为了节约成本(连接后管道总长最短),试分析最佳方案?
(也可以底下交流,两个工厂的情形我已经解决 )
a  .
. c
b .

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(  输油管)

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11。(推荐指数:2,感觉不会有简单的答案)
距离的最小值(tycolion)
在任意三角形内找一点到三顶点距离之和最小。
也许很多人以前做过。但大概忘了吧,温故而知新吗。
这样,距离之和,距离平方之和都可解决,那距离立方之和,距离四次方之和,距离 n 次方之和呢,我是不知道了。大家讨论讨论吧。
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12。(推荐指数:3,属于那一类很难找到最优解的那类组合题目)
在边长为1的正方形内取n个点,使得在正方形内的任何其边平行与正方形的边而且面积为1/200的矩形都含有至少一个点?
求n的最小值
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13。(推荐指数:5。感觉结论很奇妙,条件和结论怎么联系在一块的?)
在平面上有可列个园,平面上的任意一条直线都至少跟其中一个园相交或相切
求证对任意N都存在一条直线,至少跟N个园相交
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16。(推荐指数:5,很有趣,如果答案也非常简单,那就更有趣了:)
有一个球状的星球,上面住着一个人。他可以以最大速度1在星球表面上运动,现在有一宇宙飞船从遥远的外太空飞来,问此宇宙飞船的最大速度至少为多少时可以保证追上那个人?
参考文章:外星人的堵截

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17。(推荐指数:5。感觉也是很奇妙的结论,很有哲学的味道。)【open】

平面上有若干点,每三个点不共线。问你需要几个点能保证其中有6个点组成凸形?
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19。(推荐指数:3)【open】
数pi(3.14159265358…)的前n位小数的算术平均值是否收敛于4.5?
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20.非周期堆砌(推荐指数:5)【open】
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是否存在单块覆盖模块,使得只有非周期堆砌
题中的堆砌是对于平面来说
这个问题是平面堆砌中的基本问题
关于什么是周期堆砌,请你自己下一个恰当的定义,非周期定义为不是周期
2003。4。12

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21   密堆积问题(推荐指数:5)【open】
n维空间中的m个点满足条件:
任意两个点之间的距离不小于1,问该m点组的直径最小是多少?

2003。4。12

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26。一个策略问题(推荐指数:3)
有一圆桌,两人轮流放(中国)象棋子在其上面,不准叠置,
谁放不下了就算赢,(注意这里的提法与传统提法不一样)
当然,如果桌面有空地方能放下,则规定必须要放。
那么结果会是什么样的?你愿先放还是后放棋子?
2003。4。12
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27。王后的问题(推荐指数:5)
在n*n的国际象棋棋盘上,至少放需要放多少个“后”,才能使所有格子都被这些“后”所控制(“后”所在的格子视为被控制)。
要精确值
2003。4。12
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31,填充的奥妙(1)(推荐指数:3)【open】
把n个相同的正方形(边长为一)不重合放在一个大正方形内,那么正方形的边长的最小值
是多少?
当n是完全平方数时,答案是显然的。
对于其他的情况,除了n=2,3,5外,没有定论。
n=5是第一个不平凡的例子,大家可以试试。
当然也有一些猜想,比如:
当n=a^2-a时,外围正方形最小边长等于a,但是也已经有人证明当n=40^2-40
时,这个猜想不成立。
Paul Erdos,Graham,Hugh Montgmery的结果。
1975年,Paul Erdos和Graham证明,当n充分大时,有一个填充可以把余下无用的面积树值
降低到不超过k^7/11,即k^0.636+,k是外围正方形的边长
Hugh Montgomery把上界降低到了k(3-3^1/2)/2即k^0.633+
Graham为了使这一问题形象化,他考虑把单位正方形填充在边长为100000。1的大正方形内,按照他们的技术就可以放进100000^2+6400个单位正方形。
2003。6。12
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32。填充的奥妙(2)(推荐指数:3)
是否可以用从1开始的相邻正方形来铺满整个平面呢?
一个比较容易的问题:
用边长未必相邻而只是互不相同但边长为整数的正方形铺满整个平面。
2003。6。12
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33。填充的奥妙(3)(推荐指数:5)
容易证明,总面积为1的任意一组正方形可以不重合的放在一个面积为2的正方形中。
现在的问题是:假设一个长方形的具有单位宽度,那么它的最小长度是多少?
当然要保证能放下任意一组面积和为一正方形。
另一个问题:在所有可以保证放下任意一组面积和为1的长方形中,面积最小的是
哪一个?
如果不限制为长方形呢?答案还是一样的吗?
2003。6。12

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