【数学】等分布理论简介

为了研究小数的数字规律，引进等分布的概念，它并不复杂，但却引人入胜。
等分布又名一致分布(uniform distribution)。

若 $x_i(i=1,2,...)$ 为 $U_1=[0,1)$ 中的一个点集，对于任意正整数n
及任意实数 $r\in U_1$ ,命 $N(n,r)$ 表示n个点 $x_i(i=1,...,n)$ 落入区间[0,r)的点的个数，如果
$\lim_{n\to \infty }\frac {N(n,r)}{n}=r$
则称点集 $x_i(i=1,2,...)$ 在 $U_1$ 中一致分布。

外尔判别法：点集 $x_i(i=1,2,...)$ 在 $U_1$ 中一致分布的充要条件是，
对于任意一个 $U_1$ 中的黎曼可积函数 $f(x)$ ,都有：
$\lim_{n\to \infty}\frac {f(x_1)+f(x_2)...+f(x_n)}{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx$

外尔，德国数学家，给出了另外一个可行的判别法：

点集 $x_i(i=1,2,...)$ 在 $U_1$ 中一致分布的充要条件是，对于任意一个
整数h≠0,都有 $\lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{m=1}^{n}e^{2\pi ihx(m)}=0$

上面的定义只是数学分析性质的，我们可以对其进行通俗的理解。
所谓的等分布，顾名思义就是说数列 $\{x_n\}$ 在 $[0,1]$ 上“等可能”
分布。
另外，在定义中所用到的区间 $[0,1]$ ，也可以是另外的区间[x,y],
仅仅是概念上的差别，没有本质的区别。就象我们研究sin(x)一样，
通常只研究 $[0,2\pi]$ 的区间，是不是要考虑其他的区间，仅仅是看
我们的需要而定。

若数列 $\{x_n\}$ 在 $[0,1]$ 上等分布，则下列几个结论等价：

结论1.对于任意 $c\in [0,1]$ ，存在 $\{x_n\}$ 的无穷子数列收敛于c.

结论2.设 $\alpha,\beta\in [0,1]$ 令 $V(n,\alpha,\beta)$ 表示 $x_1,x_2,...x_n$ ,这n个数中满足 $x_i\in [\alpha,\beta]$ 的个数，
则 $\lim_{n\to \infty}\frac {V(n,\alpha,\beta )}n=\beta -\alpha$

关于等分布有许多有趣的例子，这里仅介绍两个。
首先举一个典型的例子，

定理1：对于任意一个正无理数θ，数列 $\{n*\theta\}$ 在 $[0,1]$ 上等分布。其中{}表示取小数部分。

证明：
利用结论1，即要证对于任意 $\in ∈[0,1]$ ,和给定的正数ε，总
存在n满足|{n*θ}-c|<ε。
首先，c=0时，我们要证明{n*θ}存在收敛于0的子数列。
由于{n*θ}的值全都位于 $[0,1]$ 上，所以至少有一个聚点α，即
存在自然数列 $n_1,n_2,...$ 满足i->∞时, $\{n_i*\theta\}\to\alpha$ . 显然，
可以选择数列 $\{n_i\}$ ，使其间隔递增而趋于∞。在此，不妨同时假
定 $\{n_i*\theta\}$ 是从单侧趋向α，即为递增或递减，若为递增（递减同理），
考虑数列 $\{m_i=n_{i+1}-n_i\}$ ,必有 $\{m_i*\theta\}\to 0$ ，并且 $m_i\to \infty$ 。
即 $\{m_i*\theta\}$ 是收敛于0的子数列。
因此可以选择 $\{m_i*\theta\}$ 的子数列（为了方便记号，不妨假定为
$\{m_i*\theta\}$ 本身），满足

$(\frac 1{10})^{i+1}<\{m_i*\theta\}<(\frac 1{10})^i .....$ (*)

在这里用到了θ的无理性，因为 $\{m_i*\theta\}$ 永远不会等于0，所以可以
使(*)式中的两个小于号严格成立，这也是本定理对有理数不成立的原因。
对于任意c∈(0，1),显然存在数列 $\{k_i\}$ ,满足：

$k_i*(\frac 1{10})^{i+1}< c <k_i*(\frac 1{10})^i$

由以上两式不难证明数列 $\{k_i*m_i*\theta\}\to c$ 。
此定理也可以利用外尔判别法证明。

对于有理数的情况，设有理数为 $\frac mn$ ,其中m,n互素,显然 $\{i*\frac mn\}$ 只有n个不同的取值 $0,\frac 1n,...\frac {n-1}n$ ,定理1不成立。

下面我们再来看看方幂的情况。

问题：是否存在自然数k，使得 $2^k$ 的左面10位数是1234567890？

看起来与等分布没有多少关系，但利用等分布的理论可以解决此问题。
等分布研究的是 $[0,1]$ 上的分布，因此要将 $2^k$ 转化一下，在前面加上
“0.”,使其变为纯小数， $0.\_2^k$ , 下划线表示结构上的连接。例如，
$2^5=32$ ,变为 0.32。
我们将证明

定理2. 数列 $\{0.\_2^k\}$ 在[0.1，1]上等分布。

证明：
$0.\_2^k=2^k*10^{-k*log2+\{k*log2\}-1}=10^{\{k*log2\}-1}$
因为log2是无理数，由定理1可知{k*log2}在[0，1]上等分布，
所以{k*log2}-1在[-1，0]上等分布，因此 $10^{\{k*log2\}-1}$ 在[0.1,1]
上等分布，这一点可以由 $10^x$ 的连续性和结论1推出。
由定理2，必有子数列 $\{0.\_2^{k_i}\}$ 收敛于0.1234567890,也就是说，存在
无穷个k,使得 $2^k$ 的前10位数是1234567890。