【数学】等分布理论简介




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为了研究小数的数字规律,引进等分布的概念,它并不复杂,但
却引人入胜。
等分布又名一致分布(uniform distribution).
若x(i)(i=1,2,…)为U1=[0,1)中的一个点集,对于任意正整数n
及任意实数r∈U1,命N(n,r)表示n个点x(i)(i=1,…,n)落入区间[0,r)
的点的个数,如果
 N(n,r)
lim——–=r
n->∞  n
则称点集x(i)(i=1,2,…)在U1中一致分布

外尔判别法:点集x(i)(i=1,2,…)在U1中一致分布的充要条件是,
对于任意一个U1中的黎曼可积函数f(x),都有:

f(x(1))+f(x(2))…+f(x(n))   1
lim —————————=∫ f(x)dx
n->∞            n                0

外尔,德国数学家,给出了另外一个可行的判别法:
点集x(i)(i=1,2,…)在U1中一致分布的充要条件是,对于任意一个
整数h≠0,都有
1 n    2πihx(m)
lim—∑ e^         =0
n->∞n m=1

  上面的定义只是数学分析性质的,我们可以对其进行通俗的理解。
所谓的等分布,顾名思义就是说数列{x(n)}在[0,1]上“等可能”
分布。
另外,在定义中所用到的区间[0,1],也可以是另外的区间[x,y],
仅仅是概念上的差别,没有本质的区别。就象我们研究sin(x)一样,
通常只研究[0,2pi]的区间,是不是要考虑其他的区间,仅仅是看
我们的需要而定。

若数列{x(n)}在[0,1]上等分布,则下列几个结论等价:
结论1.对于任意c∈[0,1],存在{x(n)}的无穷子数列收敛于c.
结论2.设α,β∈[0,1]令V(n,α,β)表示x(1),x(2),…x(n),这n个
数中满足x(i)∈[α,β]的个数,则
V(n,α,β)
lim ———-=β-α
n->∞   n

———————————————
关于等分布有许多有趣的例子,这里仅介绍两个。
首先举一个典型的例子,
定理1:对于任意一个正无理数θ,数列{n*θ}在[0,1]上等分布。
其中{}表示取小数部分。

证明:
利用结论1,即要证对于任意c∈[0,1],和给定的正数ε,总
存在n满足|{n*θ}-c|<ε。
首先,c=0时,我们要证明{n*θ}存在收敛于0的子数列。
由于{n*θ}的值全都位于[0,1]上,所以至少有一个聚点α,即
存在自然数列n(1),n(2),… 满足i->∞时,{n(i)*θ}->α. 显然,
可以选择数列{n(i)},使其间隔递增而趋于∞。在此,不妨同时假
定{n(i)*θ}是从单侧趋向α,即为递增或递减,若为递增(递减同理),
考虑数列m(i)=n(i+1)-n(i),必有{m(i)*θ}->0,并且m(i)->∞。
即{m(i)*θ}是收敛于0的子数列。
因此可以选择{m(i)*θ}的子数列(为了方便记号,不妨假定为
{m(i)*θ}本身),满足

(1/10)^(i+1)<{m(i)*θ}<(1/10)^i …..(*)

在这里用到了θ的无理性,因为{m(i)*θ}永远不会等于0,所以可以
使(*)式中的两个小于号严格成立,这也是本定理对有理数不成立的原因。
对于任意c∈(0,1),显然存在数列{k(i)},满足:

k(i)*(1/10)^(i+1)< c <k(i)*(1/10)^i

由以上两式不难证明数列{k(i)*m(i)*θ}->c。
此定理也可以利用外尔判别法证明。

对于有理数的情况,设有理数为m/n,其中m,n互素,显然{i*(m/n)}只有n个
不同的取值0,1/n,…(n-1)/n,定理1不成立。

下面我们再来看看方幂的情况。

问题:是否存在自然数k,使得2^k的左面10位数是1234567890?

看起来与等分布没有多少关系,但利用等分布的理论可以解决此问题。
等分布研究的是[0,1]上的分布,因此要将2^k转化一下,在前面加上
“0.”,使其变为纯小数,0._2^k, 下划线表示结构上的连接。例如,
2^5=32,变为 0.32。
我们将证明

定理2. 数列{0._2^k}在[0.1,1]上等分布。

证明:
0._2^k=2^k*10^(-k*log2+{k*log2}-1)
=10^({k*log2}-1)
因为log2是无理数,由定理1可知{k*log2}在[0,1]上等分布,
所以{k*log2}-1在[-1,0]上等分布,因此10^({k*log2}-1)在[0.1,1]
上等分布,这一点可以由10^x的连续性和结论1推出。
由定理2,必有子数列{0._2^k(i)}收敛于0.1234567890,也就是说,存在
无穷个k,使得2^k的前10位数是1234567890。

当然定理仅仅告诉我们存在,而没有表明究竟是多大。
若m不是10的方幂,可以证明 log(m)是一个无理数,因此有

定理3.若m不是10的方幂,则数列{0._m^k}在[0.1,1]上等分布。

所以m^k的左面同样可以出现任意的数字序列。

下面的一些猜想似乎都还没有解决。

1. {1.1^n} 在[0,1]上等分布。
2. {e^n} 在[0,1]上等分布,e=2.718…


对于任意正无理数θ,{θ^n}在[0,1]上等分布并不成立,因为令
θ=sqr(2)+1,可以证明{θ^n}->1。

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