【数学】猫捉老鼠趣题系列(四)




BIRDLINE

从有限到无限,似乎是一个无法逾越的鸿沟,需要思维的跨越。

数学中引入极限概念,实现有限和无限的连接,而极限概念更联系着许多知名的悖论,如芝诺悖论,旅馆悖论等等。可以说有限和无限的秘密,将是一个永恒的话题。

本章与极限虽无直接关系,但仍可据此浮想联翩。

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一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑,便哈腰紧追。猫的步子大,它跑5步的路程,老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快,猫跑2步的时间,老鼠能跑3步。
请问:按照这种速度,猫能追得上老鼠吗?如果能,它要跑多少步才能追到?

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解答:

考虑时间频率,9除以3乘以2=6步,也就是老鼠跑9步远,猫就会跑6步远,从路程上看,猫离老鼠就近了1(6-5)步,它们开始共相距10步远,所以猫一共需要跑6*10=60步才能追上老鼠。

本问题转自 数之理

引出一个经典的小故事:

冯诺依曼(von Neumann),著名的数学家、化学家、计算机科学家,开创了现代计算机理论,被誉为“现代电子计算机之父”。

von Neumann(冯诺依曼)曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题,就是两个人相向而行,中间有一只狗跑来跑去,问两个人相遇之后,狗走了多少路程。应该先求出相遇的时间,再乘狗的速度。如果没有记错的话,小时候听说过苏步青先生(苏步青,中国科学院院士,数学家。中国杰出的数学家,被誉为数学王。主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究。他在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果,在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就。)在德国的一个什么公共汽车上,就有人问他这个问题,他老人家当然不会感到有什么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案,提问的人很失望,说你以前一定听说过这个诀窍吧,他指的是上面的这个做法。von Neumann说:“什么诀窍?我所做的就是把狗每次跑得都算出来,然后算出那个无穷的级数。”

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