【数学】 猫捉老鼠趣题系列(一)




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形象化的数学问题,总是引人入胜,这个世界创意还是很重要的。

从网上收集了一些猫和老鼠的数学话题,仅供欣赏之。

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在数轴上,0的位置停着一个不动的老鼠,1的位置在初始时刻有一只猫。猫是可以走动的,每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时,猫就抓到老鼠了,游戏结束。问当猫走的步数趋向于无穷大的时候,最终捉到老鼠的概率是多大?

解答:

将所求概率记为P。猫第一步以1/2的概率左行捉到老鼠,对P的贡献是1/2.

猫第一步以1/2的概率右行,到达x=2的位置。为捉到老鼠,猫首先必须左行到x=1的位置,这与问题所求的猫从x=1到x=0位置的情况相同,概率同为P。到达x=1的位置后,游戏又回到初态,猫左行至x=0处概率仍为P。因此,猫先右行至x=2,然后最终回到x=0对P的贡献为1/2*P*P。

因此有P=1/2+1/2*P*P; 解得P=1。

本解答转自宇宙的心弦

概率问题总是容易出人意料,好好理解,其实还是在意料之中的。

不动意味着死亡,哪里有坐而待毙的道理。

留一个思考题:如果那只老鼠顿悟了不动及死亡的道理,采取了和猫的运动方式相同的策略(假设这是一只老眼昏花的老鼠),它俩同时起步,那么猫最终能碰上老鼠的概率是多大呢?

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